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第343章 刘徽（第1页）

在中国古代数学发展的长河中，西晋时期的刘徽宛如一颗璀璨的星辰，以其深邃的思维、严谨的逻辑与开创性的方法，为中国传统数学体系搭建起坚实的框架。

他没有留下详尽的生平传记，史书中仅以“魏景元四年（公元263年）注《九章算术》”这寥寥数语勾勒其存在，却凭借一部《九章算术注》与《海岛算经》，成为后世数学家难以逾越的高峰。

他的研究不仅解决了当时数学领域的诸多难题，更将“逻辑推理”与“数学证明”的思想注入传统算学，让中国古代数学从“经验积累”迈向“理论建构”的新阶段。

刘徽生活的时代，正值魏晋交替之际，社会动荡不安，战乱频仍。

然而，乱世并未熄灭学术的火种，反而催生了“玄学”的兴起——这种注重思辨、追求逻辑的思潮，为刘徽的数学研究提供了思想土壤。

当时的数学领域，虽有《九章算术》这部集大成之作（成书于西汉，汇总了先秦至汉代的数学成果），但书中多以“问题-解法”的形式呈现，缺乏对解法原理的推导与证明，如同给出了“答案”，却未说明“为何如此”。

正是这种“知其然不知其所以然”的学术现状，促使刘徽投身于《九章算术》的注解工作。

他并非简单地对原有内容进行补充，而是以“析理以辞，解体用图”为指导思想，试图为每一个算法找到严谨的理论依据。

在注文中，他多次强调“不有明据，辩之斯难”，主张数学研究必须基于逻辑推理，而非单纯依赖经验。

这种追求“理”与“据”的精神，在重实用、轻理论的传统算学环境中，显得尤为珍贵。

值得注意的是，刘徽的学术视野并未局限于数学本身。

他精通天文历法，曾在注文中提及“日月历法”的计算问题；对测量学也有深入研究，其《海岛算经》便是专门探讨复杂地形测量的专着。

这种跨领域的知识储备，让他的数学研究始终与实际应用紧密结合，既避免了空谈理论的弊端，又提升了算法的实用性与精准度。

《九章算术》作为中国古代数学的“百科全书”，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，涵盖了土地测量、粮食交易、工程计算、赋税分配等诸多实际问题。

刘徽的注解，并非对原有内容的简单阐释，而是通过“补证”“推广”“创新”三大路径，为这部经典注入了全新的学术生命力。

在《九章算术·方田》中，传统算法认为“圆田术曰：半周半径相乘得积步”，即圆面积公式为

s

=

frac{1}{2}lr

（l为圆周长，r为半径），但对圆周率π的取值仅粗略定为“周三径一”（即π≈3），这一误差在实际计算中往往导致结果偏差较大。

刘徽敏锐地发现了这一问题，创造性地提出了“割圆术”，以极限思想为核心，构建了精确计算圆周率的科学方法。

他的思路清晰而严谨：首先，在圆内作正六边形，其边长与圆的半径相等，此时正六边形的周长是圆直径的3倍，与“周三径一”的传统说法一致；接着，将正六边形的每条边所对的圆弧平分，作出正十二边形，计算其周长；再平分正十二边形的边所对圆弧，作出正二十四边形，以此类推，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。

通过这种无限逼近的方法，刘徽逐步计算出正3072边形的面积，最终得出圆周率π≈3。1416（即“39271250”），这一数值在当时世界范围内处于领先水平，比西方数学家祖冲之计算出的“祖率”（3。-3。）仅早约200年，且二者的计算思路一脉相承。

更重要的是，“割圆术”首次将“极限”思想引入数学计算，其逻辑严密性远超同时代的西方数学，成为中国古代数学理论的标志性成果。

《九章算术·方程》篇主要探讨线性方程组的解法，传统方法为“直除”法（即类似现代的“加减消元法”），但当方程组中未知数系数较大或项数较多时，“直除”法操作繁琐且容易出错。

刘徽在注解中，创造性地提出了“互乘相消”法，即通过将两个方程的两边分别乘以对方未知数的系数，使其中一个未知数的系数相等，再进行加减消元，这一方法与现代线性方程组的“代入消元法”本质一致，极大地简化了计算过程。

此外，刘徽还首次明确了“负数”在方程中的应用规则。

他指出，当方程中出现“不足”或“亏欠”的量时，可用“负”来表示，并用“赤筹”表示正数，“黑筹”表示负数，同时规定了“正负数加减法则”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”，这一规则与现代数学的正负数加减法则完全一致，比西方最早提出负数概念的印度数学家早约600年。

在几何领域，刘徽提出了着名的“出入相补”原理，即“割补术”——将一个几何图形分割成若干部分，再将这些部分重新拼接成另一个图形，其面积或体积保持不变。这一原理成为他证明各种几何公式的核心工具。

例如，在证明“勾股定理”时，刘徽并未满足于《九章算术》中“勾三股四弦五”的经验性结论，而是通过“弦图”（即一个大正方形内包含四个全等的直角三角形和一个小正方形），利用“出入相补”原理，严格证明了“勾2

+

股2

=

弦2”。

他在注文中写道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，并通过图形割补，清晰地展示了“勾实”“股实”与“弦实”之间的面积关系，使勾股定理的证明具备了坚实的理论基础。

在体积计算方面，刘徽同样运用“出入相补”原理，解决了“阳马”（底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥）与“鳖臑”（四个面均为直角三角形的三棱锥）的体积问题。

他通过将一个长方体分割成三个全等的阳马，或一个阳马分割成两个全等的鳖臑，证明了“阳马体积

=

13x底面积x高”“鳖臑体积

=